Значение ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО

пространство , тоже, что векторное пространство . В функциональном анализе рассматриваются главным образом бесконечномерные пространства. Примером бесконечномерного Л. п. может служить пространство всех многочленов (с вещественными или комплексными коэффициентами) при обычном определении сложения и умножения на числа. Одним из первых примеров бесконечного Л. п. были гильбертово пространство и пространство С [ а, b ] непрерывных функций, заданных на отрезке [ а, b ]. Эти пространства являются нормированными, т. е. такими Л. п., в которых введена норма элемента х - неотрицательное число , обращающееся в нуль лишь при х 0 и обладающее свойствами и (неравенство треугольника). Число называют расстоянием между элементами х и у (см. также Метрическое пространство ) . В нормированном Л. п. вводятся понятия открытого шара, предельной точки множества, непрерывности функционала аналогично тому, как это делается в трёхмерном пространстве.

В конечномерном пространстве различные нормы топологически равносильны: последовательность точек, сходящихся при одной норме, сходится и при любой другой. В бесконечномерных пространствах нормы могут быть существенно различны. Например, при решении задачи П. Л. Чебышева о разыскании многочлена, наименее уклоняющегося от нуля (задачи о наилучшем приближении), надо найти такой многочлен ( k - 1)-й степени Pk-i ( t ), чтобы

имел наименьшее значение. Вводя в пространство С[0,1] норму формулой

эту задачу можно сформулировать следующим образом: требуется найти многочлен Pk-i ( t ), расстояние которого от функции t* было бы наименьшим. При рассмотрении же многочленов, ортогональных с весом p(t) (см. Ортогональная система функций ) , естественно рассматривать норму, определённую формулой

,

и решать задачу о наилучшем приближении в смысле этой нормы. Нормы и существенно различны, так как, например, последовательность функций

по первой норме расходится, а по второй норме при p ( t ) 1 сходится к функции

.

Следует отметить, что хотя все функции xn ( t ) были непрерывны, функция x ( t ) разрывна. Это связано с тем, что пространство непрерывных функций неполно относительно нормы . При этом нормированное Л. п. называется полным, если для любой последовательности { x n} его элементов, удовлетворяющих условию

,

существует в Л. п. такой элемент х, что данная последовательность сходится к нему, т. е.

,

Если Л. п. неполно, то к нему можно присоединить новые элементы (пополнить его) так, что оно станет полным. Например, пополняя пространство непрерывных функций, взятое с нормой , получают гильбертово пространство L 2p. Полные нормированные Л. п. называется банаховыми, или В-пространствами, - по имени изучившего их основные свойства С. Банаха .

Обобщением понятия B -пространства является понятие топологического Л. п. Так, называют множество Е, если: 1) оно представляет собой Л. п., 2) оно является топологическим пространством , 3) операции сложения и умножения на числа в Е непрерывны относительно заданной в Е топологии. К числу топологического Л. п. относятся все нормированные пространства. А. Н. Колмогоров установил (1934) необходимые и достаточные условия нормируемости топологического Л. п.

Лит.: Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 2 изд., М., 1968; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.