уравнения (по имени древнегреческого математика Диофанта ), алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Д. у. в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах . Д. у. называются также неопределёнными. Простейшее Д. у. ax + by 1, где а и b - целые взаимно простые числа , имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 - одно решение, то числа х x0 + bn , у y0 - an ( n - любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2 x + 3 у 1 получаются по формулам х 2 + 3 n , у - 1 - 2 n (здесь x0 2, у0 - 1). Другим примером Д. у. является x2 + у2 z2 . Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х , у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами . Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х m2 - n2 , у 2 mn , z m2 + n2 , где m и n - целые числа ( m > n > 0).
Диофант в сочинении 'Арифметика' занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма , Дж. Валлиса , Л. Эйлера , Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида
ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f 0,
где а , b , с , d , е , f - целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Д. у. x2 - dy2 1 ( Пелля уравнение ), где d - целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм , являющуюся основой решения некоторых типов Д. у. В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Д. у.
a0 xn + a1xn-1y +... + anyn с
(где n ³ 3, a0 , а1 ,..., an , с - целые и многочлен a0tn + a1 , tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида
ax3 + y3 1 .
Существует много направлений теории Д. у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема . Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду , Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.
Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.