уравнение в математике,
1) Х. у. матрицы - алгебраическое уравнение вида
;
определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А || aik || n 1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х - характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:
,
где S1 a11 + a22 +... ann - т. н. след матрицы, S2 - сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида ( i < k ) и т.д., а S n - определитель матрицы А . Корни Х. у. l1, l2,..., l n называются собственными значениями матрицы А . У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все l k действительны, у действительной кососимметричной матрицы все l k чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |l k | 1 .
Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. - вековое уравнение.
2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
a0 l y ( n ) + a1y ( n-1 ) +... + an-1y' + any 0
- алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение
a0 l n + a1 l n-1 + ... + an-1 y' + any 0 .
К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у се l х для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений
, ,
Х. у. записывается при помощи определителя
Х. у. матрицы A , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.