Значение ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th?orie des Fonctions analytiques" и "Le?ons sur le Calcul des Fonctions"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от x, которая, будучи подставлена вместо у в данную функцию F от х, у, dy/dx, d²y/dx²..., дала бы интегралу b10_523-1.jpg наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что х₁ и x₂, а также и соответствующие им у₁ и у₂ имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет b10_523-2.jpg где x₁ и x₂ суть абциссы данных точек.Другой пример: требуется провести такую кривую y = f(x) между двумя точками (х₁, у₁) и (x₂, y₂) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: b10_523-3.jpg Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция f(x) найдена и что проведена кривая линия y = f(x), делающая интеграл S наибольшим или наименьшим. В функции f(x), кроме x заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от у подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты у есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через ?у. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры f(x) суть ?, ?, ?; бесконечно малые приращения их означим через ??, ??, ??. Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить ?у так:?y = \[df(x)/d?\]?? + \[df(x)/d?\]?? + \[df(x)/d?\]??.Следовательно, варьирование ординаты у, или f(х) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.При варьировании f(х) производные у', y''… от функции по x также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: ?у', ?y",… Эти вариации производных можно представить так, например, ?у':?y' = (ddy/d?dx)?? + (ddy/d?dx)?? + (ddy/d?dx)??а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс x, то можно переменить порядок действий получения производных по x и по параметрам; самые приращения ??, ??, ?? от x не зависят, а потому:?y' = d/dx\[(dy/d?)?? + (dy/d?)?? + (dy/d?)??\] = d?y/dx (A).Точно так же можно показать, что:?y'' = d²?y/dx², …(A₁) и т. д.При варьировании у, функция F(x, y, у', у",... ) получает приращение, равное:?F = F(x, y + ?y, y' + ?y',…) — F(x, y, y',…).Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций ?y, ?y', ?y''. Вариацией первого порядка функции F называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций ?у, ?y', ?y^''… Эта вариация первого порядка от F обозначается также знаком ?, так что?F = (dF/dy)?y + (dF/dy')?y' + (dF/dy'')?y'' + …Удвоенную сумму тех членов приращения F, которые заключают вторые степени и произведения вариаций ?у, ?у, ?у"… по две, называют вариацией второго порядка от функции F и обозначают ее так: ?²F.Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (S), при варьировании ординаты у, то найдем, что оно равняется интегралу от ?F и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла S: b10_524-1.jpg Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: b10_524-2.jpg Составленное выражение ?S может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только ?у, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А₁) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по x от ?у. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что ?у₁ = 0 и ?у₂ = 0 (так как y₁ и у₂ имеют данные постоянные значения), получим: b10_524-3.jpg где(F) = dF/dy — d/dx(dF/dy') + d²/dx²(dF/dy'')Для того, чтобы интеграл S был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы ?S была равна нулю, какою бы функцией от x ни была ?у; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций ?у возможно только тогда, когда (F) = 0. Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция у = f(x), делающая S наибольшим или наименьшим.Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: b10_524-4.jpg из которого следует, что у' = С и у = Сх + С₁, где С и C₁ — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая.Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M?moires de l'Acad?mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M?moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l'Acad. des Sciences de S-P?tersb." 1838; "Crelle's Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариац. исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel?f" (1861, четвертый том "Le?ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.Д. Бобылев.