Значение ФУРЬЕ РЯД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ФУРЬЕ РЯД

ряд, тригонометрический ряд , служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f ( x ) имеет период 2 T , то её Ф. р. имеет вид

,

где a0 , an , bn ( n ³ 1) - Фурье коэффициенты . В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2p-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций , а именно - по тригонометрической системе 1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,..., cos nx , sin nx ,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

обращают в минимум интеграл

,

где tn ( x ) - произвольный тригонометрический полином порядка £ n , а функция f ( x ) интегрируема с квадратом. При этом

,

так что функции f ( x ), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций ).

Для любой интегрируемой функции f ( x ) коэффициенты Фурье an , bn при n - ¥ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f ( x ) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f ( x ) интегрируем, то ряд сходится и имеет место равенство Парсеваля

.

Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел an , bn со сходящимся рядом существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.

Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f ( x ) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле ). Более общо, если f ( x ) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции ), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f ( x ) непрерывна (К. Жордан ). Если f ( x ) непрерывна и её модуль непрерывности w(d, f ) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).

Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x0 зависит от поведения функции f ( x ) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x0 функция f ( x ) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f ( x0 - 0) и f ( x0 + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x0 , то он сходится к значению 1/2{ f ( x0 - 0) + f ( x0 + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f ( x ) сходится в каждой точке, то его сумма равна f ( x ).

Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров , 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства Lp (-p, p) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые 'дефекты сходимости' породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f ( x ) сумма Фейера

при n - ¥ равномерно сходятся к f ( x ) (Л. Фейер , 1904).

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.