Значение ФУРЬЕ МЕТОД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ФУРЬЕ МЕТОД

метод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения при краевых условиях u (0, t ) u ( l , t ) 0 и начальных условиях u ( x ,0) f ( x ); u't ( x , 0) F ( x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X ( x ) T ( t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

Выбирая соответствующим образом коэффициенты An и Bn , можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012