? История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода ? вопрос о виде брахистохроны , предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th e orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).
Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от x , которая, будучи подставлена вместо у в данную функцию F от х , у , dy / dx , d 2 y / dx 2 ..., дала бы интегралу
наибольшую или наименьшую величину, при предположении, что х 1 и x 2 , а также и соответствующие им у 1 и у 2 имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет
где x 1 и x 2 суть абциссы данных точек.
Другой пример: требуется провести такую кривую y = f ( x ) между двумя точками ( х 1 , у 1 ) и ( x 2 , y 2 ) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X -ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:
Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование . Предположим, что искомая функция f ( x ) найдена и что проведена кривая линия y = f ( x ), делающая интеграл S наибольшим или наименьшим. В функции f ( x ), кроме x заключается один или несколько параметров , в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от у подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты у есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через ? у . Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры f ( x ) суть ?, ?, ?; бесконечно малые приращения их означим через ??, ??, ?? . Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить ? у так:
? y = [ df ( x )/ d ? ] ?? + [ df ( x )/ d ? ] ?? + [ df ( x )/ d ? ] ?? .
Следовательно, варьирование ординаты у , или f ( х ) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.
При варьировании f ( х ) производные у' , y" - от функции по x также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: ? у' , ? y" , - Эти вариации производных можно представить так, например, ? у' :
? y' = ( ddy / d ? dx ) ?? + ( ddy / d ? dx ) ?? + ( ddy / d ? dx ) ??
а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс x , то можно переменить порядок действий получения производных по x и по параметрам; самые приращения ??, ??, ?? от x не зависят, а потому:
? y' = d / dx [( dy / d ?) ?? + ( dy / d ?) ?? + ( dy / d ?) ?? ] = d ? y / dx ( A ) .
Точно так же можно показать, что:
? y" = d 2 ? y / dx 2 ,-( A 1 ) и т. д.
При варьировании у , функция F ( x , y , у' , у" , ... ) получает приращение, равное:
? F = F ( x , y + ? y , y' + ? y' ,-) ? F ( x , y , y' ,-) .
Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций ? y , ? y' , ? y". Вариацией первого порядка функции F называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций ? у , ? y' , ? y " - Эта вариация первого порядка от F обозначается также знаком ?, так что
? F = ( dF / dy ) ? y + ( dF / dy' ) ? y' + ( dF / dy" ) ? y" + -
Удвоенную сумму тех членов приращения F , которые заключают вторые степени и произведения вариаций ? у , ? у , ? у" - по две, называют вариацией второго порядка от функции F и обозначают ее так: ? 2 F.
Если составить выражение приращения, получаемого интегралом ( S ), при варьировании ординаты у , то найдем, что оно равняется интегралу от ? F и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла S :
Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:
Составленное выражение ? S может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только ? у , но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства ( А ), ( А 1 ) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по x от ? у . Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что ? у 1 = 0 и ? у 2 = 0 (так как y 1 и у 2 имеют данные постоянные значения), получим:
где
( F ) = dF / dy ? d / dx ( dF / dy' ) + d 2 / dx 2 ( dF / dy" )
Для того, чтобы интеграл S был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы ? S была равна нулю, какою бы функцией от x ни была ? у ; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций ? у возможно только тогда, когда ( F ) = 0 . Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция у = f ( x ), делающая S наибольшим или наименьшим.
Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:
из которого следует, что у' = С и у = Сх + С 1 , где С и C 1 ? постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия ? прямая.
Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.
С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M emoires de l'Acade mie des Sciences", vol. 12, 1833) ? в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M e moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l'Acad. des Sciences de S-P e tersb." 1838; "Crelle's Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel o f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.
Д. Бобылев.