Значение РАЗМЕРНОСТЬ (ГЕОМЕТРИЧ.) в Большой советской энциклопедии, БСЭ

РАЗМЕРНОСТЬ (ГЕОМЕТРИЧ.)

(число измерений) геометрической фигуры, число, равное единице, если фигура есть линия; равное двум, если фигура есть поверхность; равное трём, если фигура представляет собой тело. С точки зрения аналитической геометрии Р. фигуры равна числу координат, нужных для определения положения лежащей на этой фигуре точки; например, положение точки на кривой определяется одной координатой, на поверхности - двумя координатами, в трёхмерном пространстве - тремя координатами. Геометрия до середины 19 в. занималась только фигурами первых трёх Р. С развитием в середине 19 в. понятия о многомерном пространстве геометрия начинает заниматься фигурами любой Р. Простейшими фигурами размерности m являются m -мерные многообразия ; m -мерное многообразие, расположенное в n -меpном пространстве, задаётся при помощи n - m уравнений (например, линия, т . е. одномерное многообразие, в трёхмерном пространстве задаётся 3 - 1 2 уравнениями). Положение точки на m -мерном многообразии определяется 'криволинейными' координатами (например, положение точки на сфере определяется её 'географическими координатами' - долготой и широтой; аналогично на торе). Приведённые выше положения справедливы лишь при некоторых ограничительных предположениях. Действительно общее определение Р. любого замкнутого ограниченного множества, лежащего в n -mepном евклидовом пространстве, было дано П. С. Урысоном : оказывается, для того чтобы такое множество имело размерность £ m , необходимо и достаточно, чтобы оно при любом e > 0 допускало e - покрытие (замкнутыми множествами, имеющими кратность £ n + 1). Приведённое выше общее определение Р. допускает естественное обобщение на очень широкие классы топологических пространств . Урысон построил в 1921 теорию Р. - одну из глубоких теорий современной топологии. Своим дальнейшим развитием теория Р. обязана главным образом советским математикам (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин и др.).

Лит.: Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.