Значение МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ

МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

пространство, пространство, имеющее число измерений ( размерность ) более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости - двумерны, прямые - одномерны. Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее выражение эта идея нашла в таких понятиях, как топологическое пространство и, в частности, метрическое пространство .

Простейшими М. п. являются n -мерные евклидовы пространства , где n может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного евклидова пространства определяется заданием трёх её прямоугольных координат, 'точка' n -мерного евклидова пространства задаётся n 'координатами' x 1 , x 2 , ..., xn (которые могут принимать любые действительные значения); расстояние r между двумя точками M ( x 1 , x 2 , ..., xn ) и М' ( у 1 , y 2 , ..., y n) определяется формулой

аналогичной формуле расстояния между двумя точками обычного евклидова пространства. С сохранением такой же аналогии обобщаются на случай n -мерного пространства и другие геометрические понятия. Так, в М. п. рассматриваются не только двумерные плоскости, но и k -мерные плоскости ( k < n ), которые, как и в обычном евклидовом пространстве, определяются линейными уравнениями (или системами таких уравнений).

Понятие n -мерного евклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию n переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трёх). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n -мерного евклидова пространства.

Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырёхмерным пространством, элементами которого являются т. н. 'мировые точки'. При этом в понятии 'мировой точки' (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определённое положение в пространстве с определённым положением во времени (поэтому 'мировые точки' и задаются четырьмя координатами вместо трёх). Квадратом 'расстояния' между 'мировыми точками' М- ( х-, y-, z-, t- ) и М- ( х-, y-, z-, t- ) (где первые три 'координаты' - пространственные, а четвёртая - временная) естественно считать здесь выражение

( M- M- )2 ( x- - x- )2 + ( y- - y- )2 + ( z- - z- )2 - c2 ( t- - t- )2,

где с - скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство 'псевдоевклидовым'.

Вообще n -мерным пространством называется топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность n . В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n -мерного евклидова пространства.

Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также лит. см. в ст. Геометрия .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.