функционал , обобщение понятия линейной формы на линейные пространства . Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f ( x ), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:
1) f ( x ) линейна, т. е. f (( x + ( у )( f ( x ) + ( f ( y ),
где х и у - любые элементы из Е , a и b - числа;
2) f ( x ) непрерывна.
Непрерывность f равносильна требованию, чтобы было ограничено в Е ; выражение называют нормой f и обозначают .
В пространстве С [ a, b ] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b , с нормой Л. ф. являются, например, выражения:
,
f2[ (( t ) ] (( t0 ) , a ( t0 ( b.
В гильбертовом пространстве Н Л. ф. суть скалярные произведения ( l, х ), где l - любой фиксированный элемент пространства Н; ими исчерпываются все Л. ф. этого пространства.
Во многих задачах можно из общих соображений установить, что та или иная величина является Л. ф. Например, к Л. ф. приводит решение линейных дифференциальных уравнений с линейными краевыми условиями. Поэтому очень существенным является вопрос об общем аналитическом выражении Л. ф. в разных пространствах.
Совокупность всех Л. ф. данного пространства Е превращается в линейное нормированное пространство , если определить естественным образом сложение Л. ф. и умножение их на числа. Пространство называют сопряжённым к ; это пространство играет большую роль при изучении Е .
С понятием Л. ф. связано понятие слабой сходимости. Последовательность { xn } элементов линейного нормированного пространства называют слабо сходящейся к элементу х , если
для любого Л. ф. f . См. также Функциональный анализ .