и Галёркина методы, широко распространённые прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи , Вариационное исчисление ) .
Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал V [ y ( x )] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у ( х ) , принимающую в точках x0 и xi заданные значения a у ( х0 ) и b у ( х1 ) , на которой функционал V [ y ( x )] будет достигать экстремума . Значения исследуемого на экстремум функционала V [ y ( x )] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у ( х ) , а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида
с постоянными коэффициентами ai , составленных из n первых функций некоторой выбранной системы j1( x ) , j2( х ) ,..., j п ( х ) ,... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций j1( х ) является требование, чтобы функции уп ( х ) удовлетворяли условиям уп ( хо )a и yn ( x1 ) a для всех значений параметров a1. Притаком выборе функций уп ( х ) функционал V [ y ( x )] превращается в функцию Ф ( а1, a2,..., an ) коэффициентов ai, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений
.
Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла
при условии y (0) y (1) 0 . В качестве функций j i ( x ) можно взять xi (1 - х ) , тогда
.
Если n 2, то . Для определения коэффициентов a1 и a 2 получаем после вычислений два уравнения
;
.
Решением этих уравнений являются числа a1 71/369 и a2 7/41 . Следовательно, . Полученное приближённое решение отличается от точного на величину порядка 0,001.
Найденное этим методом приближённое решение уп ( х ) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций j i ( x ) , стремится к точному решению у ( х ) , когда n - ¥.
Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).
Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения
L [ u ] 0(1)
(L - некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:
u 0.(2)
Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [ u ] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность ) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде
,(3)
где y i ( x, y ) ( i 1, 2,..., n ) - линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y 1 ( x, у ) , y 2 ( х, у ) ,..., y п ( х, у ) ,..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты ai выбирают так, чтобы функция L [ un ] была ортогональна в D первым n функциям системы y i ( x, y ):
(4)
.
Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона
при условии u 0 на S . Выбирая систему функций y i ( x, y ) , ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:
.
Функции y i ( x, y ) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w( x, y ) - непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w( x, y ) > 0внутри D, w( x, y )0 на S . Тогда в качестве системы функций y i ( x, y ) можно взять систему, составленную из произведений w( x, y )на различные степени х и y : , , , , - Например, если границей области D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить w( x, y ) R2 - x2 - y2.
Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа для решения уравнений вида Au - f 0, где А - линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u - искомый и f - заданный элементы пространства H.
Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым , в связи с чем иногда именуется методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).
Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, 'Вестник инженеров', 1915, т. 1, | 19, с. 897-908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. - Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Losung gewisser Randwertaufgaben, 'Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten', Gottingen, 1908; его же, Uber еще neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, 'Journal fur die reine und angewandte Mathematik', 1909, Bd 135.
В. Г. Карманов.