Значение слова ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

в математике ? один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором ? соответствующие величины функции, а в следующих ? последовательные разности, так что b''' = а" ? а''', b" = а' ? а" ... с" = b" ? b"' ...

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:

Формула Ньютона.

a = a o + {( b' + b 1 )/2 ? 1/6[( d' + d 1 )/2] +...} n + { c o /2 ? e o /24 +...} n 2 + {1/6[( d' + d 1 )/2] ?...} n 3 +...

Формула Бесселя.

a = a o + nb 1 + [ n ( n ? 1 )/1.2].[( c o + c 1 )/2] + [ n ( n ? 1 )( n ? 1/2 )/1.2.3] d 1 + [( n + 1 ). n ( n ? 1 )( n ? 2 )/1.2.3.4].[( e o + e 1 )/2] +...

Формула Стирлинга.

a = a o + [( b' + b 1 )/2] n + c o ( n 2 /1.2) + [( d' + d 1 )/2].[( n ? 1 ) n ( n + 1 )/1.2.3] + e o [( n ? 1 ) n 2 ( n + 1 )/1.2.3.4] + ...

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

Для 15 ч. 2-го января n = ?, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12¦58'59,4".

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a o + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n . Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается n = ( a ? a 0 )/ b . При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов х 1 , х 2 ..... х п , то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа :

F(x) = U 1 {[ (x ? x 2 )(x ? x 3 ) ... (x ? x n ) ]/[ (x ? x 2 )(x 1 ? x 3 ) ... (x 1 ? x n ) ]} + U 2 {[ (x ? x 1 )(x ? x 3 ) ... (x ? x n ) ]/[ (x 2 ? x 1 )(x 2 ? x 3 ) ... (x 2 ? x n ) ]} +... + U n {[ (x ? x 1 )(x ? x 2 ) ... (x ? x n-1 ) ]/[ (x n ? x 1 )(x n ? x 2 ) ... (x n ? x n-1 ) ]} +...

где U 1 = F(x 1 ), U 2 = F(x 2 ) ... U n = F(x n ).

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.

B. Витковский.

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона. 2012