разностей исчисление, раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления , где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями 'вперёд' для последовательности значений y1f (x1), y2 f (x2),..., yk f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... ( xk х0 + kh, h - постоянное, k - целое), называют выражения:
D yk º D f (xk) f (xk+1) - f (xk)
(разности 1-го порядка),
D 2yk º D 2f (xk) D f (xk+1)- D f (xk) f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)
(разности 2-го порядка),
D nyk º D nf (xk) D n-1f (xk+1) - Dn-1f (xk)
(разности n-го порядка).
Соответственно, конечные разности 'назад' Dn yк определяются равенствами
D nyк D nyк + n.
При интерполяции часто пользуются т. н. центральными разностями dny , которые вычисляются при нечётном n в точках х xi+1l2h, а при чётном n в точках х xi по формулам
df (xi + 1/2h) º dyi+1/2 f (xi+1) - f (xi),
d2f (xi) º d2yi dyi+1/2,
d2m-1f (xi + 1/2h) º d2т-1yi+1/2 d2т-2yi+1-d2т-2yi,
d2mf (xi) º d2туi d2т-1yi+1/2 - d2т-1yi-1/2
Они дополняются средними арифметическими
,
,
где m 1,2,...; если m 0, то полагают
.
Центральные разности dn y связаны с конечными разностями Dn y соотношениями
d2туi D2туi-m,
d2т+1yi+1/2 D2m+1yi-m
Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk неесть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам
-..-
.
Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой D nyk f (n)(), где xk££xk+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
F [x,(f (x),..., D nf (x)] 0 (1)
задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n - го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
Ф [х , f (x), f (x1),..., f (xn) ] 0 ,
выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) 0,
где a1 ,..., an - постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1, l2,... ln его характеристического уравнения
ln + a1ln-1+...+an 0.
Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
f (x) С1l1х + C2l2x +... + Cnlnx,
где C1, C2,..., Cn - произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l1, l2,..., ln нет равных).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1-2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
Под редакцией Н. С. Бахвалова.