раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с отысканием экстремальных значений; одной из таких задач является нахождение кривой, обращающей некоторую величину в минимум (или в максимум). И.Ньютон решил задачу такого типа, найдя форму поверхности вращения, при которой тело, двигаясь в сплошной среде, испытывает наименьшее сопротивление. Свои результаты Ньютон изложил в Математических началах натуральной философии (1687). В 1696 И.Бернулли сформулировал задачу о брахистохроне, или кривой наискорейшего спуска: найти траекторию, соединяющую две точки в вертикальной плоскости, двигаясь по которой материальная частица под действием только силы тяжести переместится из одной точки в другую за кратчайшее время. Различными методами и независимо друг от друга И.Бернулли и его брат Якоб доказали, что такой кривой является циклоида. Общая задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы среди всех непрерывных дуг y = y(x), соединяющих две точки P1(x1, y1) и P2(x2, y2) плоскости и имеющих непрерывно поворачивающиеся касательные, найти такую дугу, для которой не обращающийся в бесконечность интеграл
принимал экстремальное значение. В 1744 Л.Эйлер опубликовал теорему, ставшую основой всего вариационного исчисления: всякая функция y, обращающая в минимум или максимум интеграл J, должна удовлетворять дифференциальному уравнению
Другие необходимые условия были открыты А.Лежандром в 1786, К.Якоби в 1837 и К.Вейерштрассом. В 1879 Вейерштрасс доказал ряд достаточных условий, позволяющих установить, доставляет ли та или иная дуга экстремальное значение интегралу J.
Наглядным примером применения общей теории вариационного исчисления на плоскости служит задача о нахождении поверхности вращения с минимальной площадью, которая была изучена одной из первых. Любая дуга y = y(x), соединяющая две точки P1 и P2 на плоскости xy, порождает поверхность вращения вокруг оси x, площадь которой равна
Минимизирующая дуга должна принадлежать двупараметрическому семейству цепных линий
которое является общим решением уравнения Эйлера. Существование минимума проверяется с помощью теоремы Вейерштрасса о достаточном условии. Такую минимальную поверхность можно наглядно продемонстрировать посредством соответствующих физических приспособлений. Изготовим проволочную рамку, в которой осью x служит проволока, соединяющая центры двух колец с радиусами y1 и y2; каждое кольцо расположено в плоскости, перпендикулярной оси x. Если такую рамку опустить в мыльный раствор и затем вынуть, то оставшаяся на ней мыльная пленка примет форму минимальной поверхности, порожденной цепной линией (кольца должны находиться на небольшом расстоянии друг от друга).
Рассматривались различные модификации этой простейшей задачи на плоскости. Концы дуги, один или оба, могут быть подвижными, как в задаче о нахождении кратчайшего расстояния между двумя кривыми на плоскости. Подробно изучалась задача о нахождении дуги y = y(x), для которой интеграл J принимает экстремальное значение, в то время как другой интеграл
остается постоянным. К задачам этого типа относится задача о нахождении плоской кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Такой кривой является окружность, но строгое доказательство этого утверждения непросто.
В 1806 Ж.Лагранж обобщил полученные ранее результаты на случай (n + 1)-мерного пространства. Он сформулировал задачу следующим образом: среди непрерывных и имеющих непрерывные первые производные дуг yi = yi(x), i = 1, ..., n, соединяющих две точки P1(x1, y1(x1), ..., yn(x1)) и P2(x2, y1(x2), ..., yn(x2)) и удовлетворяющих множеству независимых уравнений ???(x, y1, ..., yn) = 0, ? = 1, ..., m
принимает экстремальное значение. Эта задача имеет многочисленные приложения в физике и механике. Современные математики рассмотрели и другие обобщения общей задачи вариационного исчисления и посвятили им множество работ.