функция, функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции ). Примерами Ц. ф. могут служить алгебраический многочлен a 0 + a 1 z +... + a n z n , функции sin z , cos z , ez. Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой Ц. ф. Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Ц. ф. f ( z ) необходимо и достаточно, чтобы f ( z ) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z ¥ является существенно особой точкой для Ц. ф. f ( z ), то f ( z ) называют трансцендентной Ц. ф. Таковы, например, функции sin z, cos z, ez.
Для того чтобы f ( z ) была Ц. ф., необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z 0 имело место соотношение
В этом случае разложение f ( z ) в ряд Тейлора
будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.
Основой для классификации трансцендентных Ц. ф. служит скорость роста М ( r ) функции, определяемой равенством
Величину
называют порядком Ц. ф. f ( z ) . В трудах А. Пуанкаре , Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между порядком Ц. ф. и распределением её нулей.
Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.