Значение РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

непрерывность, важное понятие математического анализа. Функция f ( x ) называется равномерно-непрерывной на данном множестве, если для всякого e > 0 можно найти такое d d(e) > 0, что ê f ( x 1) - f ( x 2)ê < e для любой пары чисел x 1 и x 2 из данного множества, удовлетворяющей условию i x 1 -x 2i < d (ср. Непрерывная функция ).Например, функция f ( x ) x 2 равномерно непрерывна на отрезке [0, 1]: если , то (так как для 0 £ x 1 £ 1, 0 £ x 2 £ 1 обязательно i x 1 + x 2i£ 2). Вообще функция, непрерывная в каждой точке отрезка [ а, b ], равномерно непрерывна на этом отрезке (теорема Кантора). Для интервала эта теорема может не иметь места.

Так, например, функция непрерывна в каждой точке интервала 0 < x < 1, но не является равномерно непрерывной в этом интервале, потому что, например, при e 1 для любого d > 0 (d < 1) мы имеем удовлетворяющие неравенству i x 1 - x 2i < d числа x 1 и x 2 d, для которых .

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012