непрерывность, важное свойство некоторых семейств функций. Семейство функций называется равностепенно непрерывным на данном отрезке [ а , b ], если для всякого числа e > 0 найдётся такое d > 0, что i f ( x 2) - f ( x 1)i < e для любых x 1 и x 2 из [ а , b ] для которых i x 2 - x 1i < d , и для любой функции f ( x ) данного семейства. Все функции равностепенно непрерывного семейства равномерно непрерывны на [ a , b ] (см. Равномерная непрерывность ).
Свойство Р. н. семейства функций находит приложения в теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе благодаря следующей теореме: для того чтобы из данного семейства функций можно было выделить равномерно сходящуюся последовательность (см. Равномерная сходимость ), необходимо и достаточно, чтобы семейство функций было равностепенно непрерывно и равномерно ограниченно (т. е. чтобы все функции семейства удовлетворяли на [ а , b ] условию i f ( x )i £ M с одним и тем же М ). Возможность выделить равномерно сходящуюся последовательность означает, что данное семейство образует относительно компактное множество в пространстве С непрерывных функций (см. Компактность ).