Значение РЯД, В МАТЕМАТИКЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

РЯД, В МАТЕМАТИКЕ

Содержание. 1) Определение. — 2) Число, определяемое рядом. — 3) Сходимость и расходимость рядов. — 4) Условная и абсолютная сходимость. — 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды.1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.1, 2, 3, 4,..., n,...есть Р. натуральных чисел;1, 4, 9, 16,..., п 2... — Р. квадратов;а 0, а 1 х, а 2 а 2,..., а nxn,...— Р. степенных функций или степенной Р.Здесь числа a 0, a1, a2,...,an ... написаны по какому-нибудь закону, напр.1, x, x2/(1.2), x3/(1.2.3),... xn/(1.2...n),... или0, x, x2/2, x3/3, x4/4... (—1)n-1xn/n.. Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.?\[(35 — 3)/2\] = ?\[32/2\] = ?16 = 4.При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.Р. u0, u1, u2,... un...назыв. бесконечным, если после всякого элемента uk найдется элемент uk+1; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.1. 2, 3,... 9, 10есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.2. Число, определяемое рядом.Особенное значение имеют бесконечные Р. вида(1)... а 1/10, а 2/102,... а n/10n,..., где а 1 , а 2 , а 3,... а n,... целые положительные числа, a0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3,... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а.Говорят, что а больше рационального числа p/q, если при достаточно большом n имеет место неравенствоа 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n > p/qЕсли же при всяком nа 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n не > p/qно при достаточно большом nа 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а n/10n > r/sгде r/s произвольно взятое число, меньшее p/q, то считают а равным p/q.На этом основании Р.9/10, 9/102, 9/103,...равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.Если а не равно 9, а все последующие числаak+1, ak+2, ak+3,... равны 9, то число а, определяемое Р. (1), равноа 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + (а k + 1)/10k.Если же не все числа а k+1, а k+2, а k+3 ...равны 9, то а = а 0 + а 1/10 + а 2/102 +... + а k/10kМожет случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1, равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определениема 1Если для Р. с положительными членамино, и 0 , и 1, u2,.., и n... отношениеlim(un + 1)/un = 1 — r/n + ? (n)/n ?,где r не зависят от n, ? > 1 и ? (n) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction ? la theorie des fonctions d'une variable", p. 84).4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v0, v1, v2,... vn,...сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.1, —1/2, 1/3, —1/4,...Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.1 — 1/2 + 1/3 — 1/4 +... = log2,но 1 — 1/2 — 1/4 + 1/3 — 1/6 — 1/8 +...= 1/2 — 1/4 + 1/6 — 1/8 +.... = 1/2 log 2.Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.а = a0 + a1 + a2 +.....,b = b0 + b1 + b2 +..... .,то Р.a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b2 + a2b0,... абсолютно-сходящийся и, кроме того,a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b2 + a2b0) +... = ab.5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.(5)... f0(x), f1(x), f2(x),..., fn(x),... члены которого суть функции от одной переменной x, которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.Р. 1, х, 1.2x2, 1.2.3x3,...... .,сходящийся только при x = 0.Р. 1, х, (1/2 + 1.2x2), (1/3 + 1.2.3x3),... расходящийся при всяком х.Р. 1, х/ 1, (x2/1.2), (x3/1.2.3),... сход. при всяком значении х. Если степенной Р. ? 0, ? 1x, ? 2x2,... сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x, модуль которого меньше некоторого числа R. Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R.Примером может служить геометрическая прогрессия1, x, x2, x3,...., у которой радиус круга сходимости равен единице.Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n, большем некоторого числа тmod \[fn(x) + fn+1(x) + fn+2(x) +...\] Log ? /LogxСлед., в рассматриваемом случает = Log ? /Logx.Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m, найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1Это доказывает, что рассматриваемый Р. неравномерно сход. в промежутке между 0 и 1.Предположим, что0 —1, и при x = —1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres compl?tes", 1881, p. 245).При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.1/(1 + 2t + 5t3 + 3t3) = y0 + y1t + y2t2 + y3t3 +..., получимy0 = 1, y1 + 2y0 = 0, y2 + 2y1 + 5y0 = 0,y3 + 2y2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,y4 + 2y3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.Р. коэффициентов y 0, у 1, y2... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением yn+3 + 2yn+2 + 5 у n+1 + 3 у n = 0.Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0, у 1, y2... Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение(14)... arctgx = x — (x3/3) + (x5/5) —...(15)... arcsin х = x/1 + 1/2(x3/3) + (1.2/2.4)(x5/5) +... справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям b54_518-3.jpg Здесь arctg х и arcsinx обозначают числа, которые лежат между —?/2 и ?/2 и tg или sin которых равен x.Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)? /4 = 4arctg(1/5) — arctg(1/239)дает возможность очень быстро вычислить ? с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил ? с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.Д. С.

Брокгауз и Ефрон. Брокгауз и Евфрон, энциклопедический словарь.