одно из важнейших математических понятий, встречающееся в двух основных концепциях - Н. множества и Н. отображения. Исторически раньше подверглось математической обработке понятие непрерывного отображения, или непрерывной функции , чем логически предшествующее ему понятие 'Н. множества'. Понятие непрерывной действительной функции обобщается на произвольные отображения так: однозначное отображение у f ( x ) некоторого множества Х элементов х на множество Y элементов у называется непрерывным, если из сходимости последовательности x1, x2,..., xn,... элементов множества Х к элементу х следует сходимость их образов f ( x1 ) , f ( x2 ) ,.. ., f ( xn ) , ... к образу f ( x ) предельного элемента х (о других обобщениях того же понятия см. в ст. Топология ) . Т. о., определение Н. отображения зависит от того, как в самих множествах Х и Y определены предельные соотношения (в нашем случае сходимость последовательностей). Множество элементов с определёнными предельными соотношениями между ними называется в современной математике топологическим пространством . В терминах теории топологических пространств в настоящее время обычно и излагаются понятия, характеризующие свойства Н. различных множеств математических объектов. Об этих понятиях см. в ст. Континуум .
Лит.: Дедекинд Р., Непрерывность и иррациональные числа, пер. с нем., 4 изд., Одесса, 1923; Кантор Г., Основы общего учения о многообразиях, [пер. с нем.], в кн.: Теория ассамблей. 1, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике, сб. 6); Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. - Л., 1948; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М. - Л., 1937; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948.