уравнение, уравнение с частными производными вида D u f, где D -оператор Лапласа:
При n 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u ( х, у, z ) объёмных масс, распределённых с плотностью f ( x, у, z )/4p (в областях, где f 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то при n 2 частное решение П. у. имеет вид:
а при n 3:
где r ( А , Р ) - расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р . В более подробной записи
V ( х, у, z )
Решение краевых задач для П. у. сводится подстановкой к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw 0 .
П. у. впервые (1812) было изучено С. Д. Пуассоном .