система функций , такая система функций Ф {j( x :)}, определённых на отрезке [ a, b ], что не существует функции f ( x ), для которой, и которая была бы ортогональна ко всем функциям j( х ) из Ф, т. е. для которой
при любой функции j( х ) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл ) . Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1 , sin x, cos х, ..., sin nx, cos nx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2p], но не образуют П. с. ф. на отрезке [-2p, 2p]; последнее вытекает из того, что
для любой функции j( x ) рассматриваемой системы. Для того чтобы система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [ а, b ] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями функций из этой системы. См. Ортогональная система функций .