функция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2 p ; { x } - дробная часть числа х - П. ф. с периодом 1; показательная функция ex (если х - комплексное переменное) - П. ф. с периодом 2 pi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т ; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT , где k |1, | 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f ( x ) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда . Фундаментальная теорема теории П. ф. утверждает, что П. ф. f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T ) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:
;
коэффициенты этого ряда выражаются через f ( x ) по формулам Эйлера - Фурье (см. Тригонометрические ряды , Фурье коэффициенты ).
Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T1 и T2 , отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k1T1 + k2T2 , где k1 0,|1, |2,... и k2 0, |1, | 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией . Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f ( x + T1) a1f ( x ) и f ( x + T2 ) a2f ( x )или f ( x + T1 )и f ( x + T2 ) - ea2x f ( x ) ].
Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos) не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций . П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.