Значение МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО в Большой советской энциклопедии, БСЭ

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

пространство, множество объектов (точек), на котором введена метрика . Всякое М. п. является топологическим пространством ; за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые шары [при этом открытым шаром радиуса R с центром в точке x0 называется совокупность всех точек х , для которых расстояние r( х, x0 ) < R ]. Топология одного и того же множества может быть различной в зависимости от метрики, введённой на нём. Например, на множестве вещественных функций, определённых и непрерывных на отрезке [ a, b ] числовой оси, можно ввести две метрики:

Соответствующие М. п. обладают разными топологическими свойствами. М. п. с метрикой (1) является полным [для любой последовательности его точек { xn } такой, что r1( xn, xm ) - 0 При n, m - ¥, найдётся элемент x0 М. п., являющийся пределом этой последовательности]; М. п. с метрикой (2) этим свойством не обладает. В М. п. можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность отображения одного М. п. в другое, сходимость, компактность и т.д. Понятие 'М. п.' было введено М. Фреше в 1906.

Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л. 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972; Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965.

В. И. Соболев.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.