1) аналитическая функция комплексного переменного s s + it , определяемая при s > 1 формулой
Эту функцию для действительных s ввёл в математический анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал немецкий математик Б. Риман (1859), поэтому её часто называют дзета-функцией Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Чебышева (1848) и Б. Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Д.-ф. и свойствами простых чисел.
Эйлер вычислил значения x (2 s ) для любого натурального s . В частности
Далее он вывел тождество (тождество Эйлера)
где произведение распространяется на все простые числа р 2, 3, 5,...
Первостепенное значение для теории простых чисел имеет распределение нулей Д.-ф. Известно, что Д.-ф. имеет нули в точках s -2 n , где n 1, 2, ... (эти нули принято называть тривиальными) и что все остальные (так называемые нетривиальные) нули Д.-ф. находятся в полосе 0 < s < 1, называемой критической полосой. Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули Д.-ф. расположены на прямой s 1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные результаты о распределении нулей Д.-ф. получены при помощи созданного советским математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитической теории чисел.
Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; Титчмарш Е. К., Дзета-функция Римана, пер. с англ., М., 1947; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. - Л., 1936; Янке Е., Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. - Л., 1948; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.
2) В теории эллиптических функций встречается Д.-ф. Вейерштрасса
где Ã( u ) - эллиптическая функция Вейерштрасса. Эту Д.-ф. не следует смешивать с Д.-ф. Римана.