Значение ХАРАКТЕР (В МАТЕМАТИКЕ) в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ХАРАКТЕР (В МАТЕМАТИКЕ)

в математике, функция специального вида, применяемая в чисел теории и теории групп .

В теории чисел Х. называют функцию c( n ) ¹ 0, определённую для всех целых чисел n и такую, что: 1) c( nm ) c( n )c( m ) для всех n и m , 2) существует такое целое число k (период), что c( n + k ) c( n ) для всех n . Наименьший из положительных периодов называется основным модулем характера c, а характер с основным модулем k обозначается c( n , k ). Примерами Х. являются: 1) главный Х. по модулю k ; c( n , k ) 0, если ( n , k ) > 1, и c( n , k ) 1, если ( n , k ) 1, 2) c( n , k ) 0, если ( n , k ) > 1, c( n , k ) , если ( n , k ) 1, - Якоби символ , k > 1 - нечётное натуральное число. Х. степени q по модулю k называется Х., равный единице для чисел и, для которых разрешимо сравнение xq º a (mod k ) (см. Степенной вычет ). Такие Х. играют важную роль в теории алгебраических чисел. Многие вопросы теории чисел (например, вопрос о распределении простых чисел) связаны с изучением функций L ( s c) (т. н. L -функций Дирихле). Частным случаем таких функций является дзета-функция x( s ), для которой Х ( n ) º 1 .

Условие периодичности c( n + k ) c( n ) позволяет трактовать характеры c( n , k ) при фиксированном k > 1 как функции, заданные на приведённой системе вычетов по модулю k , рассматриваемой как группа по умножению, и удовлетворяющие там функциональному уравнению:

c( ab ) c( a ) c( b ).(1)

Такая трактовка понятия Х. позволяет непосредственно перенести его на любую конечную коммутативную группу G . При этом, если n - порядок, e - единица, a - произвольный элемент группы G , то [c( a )] n c( a n ) c( e ) 1, т. е. c( a ) - корень n -й степени из единицы: в частности

|c( a )| º 1.(2)

Х. произвольной коммутативной группы G (не обязательно конечной) называют всякую функцию c( а ), определённую на G и удовлетворяющую условиям (1) и (2). Если G - топологическая группа, то требуют ещё, чтобы c( а ) была непрерывна.

Совокупность всех Х. группы G образует группу G1 , относительно обыкновенного умножения Х. как функций. Если G конечна, то G1 изоморфна G . Для бесконечных групп это уже, вообще говоря, неверно. Например, если G - группа целых чисел, то её Х. служат c( n ) ein j, где (j - любое действительное число, приведённое по модулю 2p, так что группа Х. совпадает с группой вращений окружности. В свою очередь, группа Х. для группы вращений окружности совпадает с группой целых чисел [каждый такой Х. имеет вид: c(j) ein j]. Эта двойственность была обобщена Л. С. Понтрягиным на широкий класс групп и применена к решению важных проблем топологии (т. н. проблем двойственности для компактов).

Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М. - Л., 1947; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.