целые трансцендентные функции , введённые К. Вейерштрассом при построении им своей теории эллиптических функций. Основной из четырёх С.-ф. является функция
где w 2 m w1 + 2 n w2, w1 и w2 - два числа, отношение которых не является вещественным, а m и n независимо друг от друга пробегают все положительные и отрицательные целые числа, кроме m n 0 . Функция s( z ) имеет простые нули при z w, т. е. в вершинах параллелограммов, образующих правильную решётку на плоскости z ; эти параллелограммы получаются из основного параллелограмма с вершинами в точках 0, 2w1, 2w2, 2 (w1 + w2) параллельными переносами вдоль его сторон.
При помощи функции s( z ) могут быть определены дзета-функция x( z ) и эллиптическая функция Ã( z ) Вейерштрасса:
, .
Обозначим w3 - w1 - w2, x(wk) hk, k 1, 2, 3 . Формулы
, k 1, 2, выражают свойство квазипериодичности функции s( z ). Равенства
, k 1, 2, 3,
определяют остальные три С.-ф. Имеем s(0) 0, sk (0) 1, k 1, 2, 3 . Функция s( z ) является нечётной, а три остальные С.-ф. - чётные.
Любая эллиптическая функция f ( z ) с периодами 2w1 и 2w2 может быть рационально выражена через С.-ф. по формуле
,
где С - постоянная, a1 ,..., cr и b1 ,..., br - соответственно полные системы нулей и полюсов функции f ( z ), удовлетворяющие условию a1 +... + ar b1 +... + br .
С.-ф. тесно связаны с тэта-функциями .
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. [с нем.], М., 1968; Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.