Значение АРИФМЕТИЧЕСКИ-ГАРМОНИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

АРИФМЕТИЧЕСКИ-ГАРМОНИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ

- А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю a 1 и гармоническую среднюю h 1 , т. е. найдем a 1 = 1/2(a+h) и h 1 = 2ah/(a+h); таким же образом составим а 2 = 1/2(a 1 +h 1 ) и h 2 = 2a 1 h 1 /(a 1 +h 1 ) и т. д. Числа a, a 1 , a 2 : и h, h 1 , h 2 : будут представлять - первые убывающий ряд, вторые - возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, h 1 = 2ah/(a + h) = ah/a 1 , след. а 1 h 1 = ah; точно так же a 2 h 2 = a 1 h 1 = ah, что треб. док., наконец, a n h n = h. Но а ? = h ? = b 2 , если b есть АН между а и h; итак, b = vah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = vа. Итак, чтобы найти va, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a 1 из а и 1 и гармоническую среднюю h 1 из а и 1; затем арифметическую среднюю a 2 из a 1 и h 1 и гармоническую среднюю h 2 из a 1 и h 1 и т. д., числа а i и h i будут быстро сходиться и стремиться к пределу = vа. Прим.

а = 2, h = 1 а 1 = 1.5000000 h 1 = 1.3333333 а 2 = 1.4166666 h 2 = 1.4117647 а 3 = 1.4142157 h 3 = 1.4142114 а 4 = 1.4142136 h 4 = 1.4142136,

итак, v2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона.