функции, функции u ( х, у ) , u ( x, у ) двух переменных х и у, связанные в некоторой области D условиями Коши - Римана (см. Коши-Римана уравнения ) ;
; .
При определённых условиях, например при непрерывности частных производных первого порядка, С. ф. u и u являются соответственно действительной и мнимой частью некоторой аналитической функции f ( x + iy ) . Они удовлетворяют в области D уравнению Лапласа
,
т. е. являются гармоническими функциями . Заданием функции, гармонической в односвязной области D [напр., u ( х, у )] однозначно (с точностью до постоянного слагаемого) определяется сопряжённая с ней гармоническая функция u( x, у ) , а тем самым и аналитическая функция f ( x + iy ) . Например, если
[j arg ( х + iy )]
- гармоническая функция в некотором круге , то С. ф.
и
Значения С. ф. на круге r 1 являются периодическими функциями аргумента j. Они раскладываются в тригонометрические ряды вида
называемые сопряжёнными тригонометрическими рядами.