- А. средняя из нескольких величин получается разделением суммы этих величин на их число. Так, А. средняя из a 1 , a 2 ,:a n есть a = (a 1 +a 2 +:+а n ). Главные свойства А. средней содержатся в следующих двух положениях: 1) Сумма уклонений всех данных от их А. средней равна нулю: так, из написанной формулы очевидно следует: (a 1 -a) + (a 2 -a) +:+ (a n -а) = 0, что и требовалось доказать. 2) Сумма квадратов уклонений отдельных данных от арифметической средней имеет наименьшую величину, т. е. (a 1 -a) 2 + (a 2 -a) 2 +:+ (a n -a) 2 = minimum, так как если вместо а мы возьмем a+h, то получим для новой суммы квадратов уклонений ?(а i -а+h) 2 = ?(а i -a) 2 + 2h?(a i -a) + nh 2 , a так как ?(a i -a) = 0, то эта сумма = ?(а i -a) 2 + nh 2 , что очевидно больше ?(a i -a) 2 , что и требовалось доказать.
А. средняя имеет обширное применение и громадное значение во всех научных измерениях или счислениях. Если произведен ряд наблюдений над величиною какого-нибудь объекта и для этой величины найдены различные значения а 1 , а 2 ... a n , то вероятнейшее значение измеренной величины есть а - арифмет. средняя из отдельных наблюдений. Это имеет место в том случае, когда измерения а 1 одинаково точны и достоверны, т. е. равновески. Если же точность этих измерений не одинакова, если, напр., результат a 1 получен из p 1 отдельных наблюдений, результат а 2 из р 2 таких же наблюдений,... результат а из р n таких же наблюдений, то вместо простой А. средней должно взять величину а = (p 1 a 1 + p 2 a 2 +:+ p n a n )/(p 1 + p 2 +:+ p n ), короче ?p i a i :?p i .
Должно различать два рода А. средних; в одном случае средняя выражает вероятнейшую величину какого-нибудь объекта измерения, напр. вероятнейший рост человека, измеренного несколько раз. В другом случае А. средняя есть фиктивная величина, изображающая средний тип группы различных предметов, напр. средний рост большого числа людей. Иногда различают еще третий вид средних, который получается в некоторых исследованиях как точный результат из двух чисел, в которых в одном случае некоторая посторонняя причина действовала в одном направлении, в другом случае, с такою же силою, в противоположном; напр. в астрономических наблюдениях кульминационная ошибка при двух противоположных положениях трубы или при выводе широты места из наблюдений двух звезд в нижней и верхней кульминации их.
Принцип А. средней при выводе вероятнейшего результата, вероятно, применялся, более или менее случайным образом, уже в древности; изречение ??????? ??????, вероятно, прилагалось не только к философским теориям. Однако до Лежандра и в особенности Гаусса, т. е. до XIX-го столетия, не существовало теории ошибок и систематических способов вычисления результатов наблюдений, а понятие средней как типа было впервые прочно установлено в науке трудами Кетле, в середине настоящего столетия. А. средняя и приложение ее к выводу вероятнейшего результата из ряда несогласных наблюдений породила целую литературу, до сих пор еще не сказавшую последнего слова о пределах применимости этого способа. Скиапарелли показал, что А. средняя есть единственная функция системы чисел, обладающая следующими двумя свойствами: 1) она не изменяется от изменения единиц, в которых выражены эти числа, т. е. аналитически: если все данные числа увеличить в m. раз, то и средняя увеличится в m. раз, и 2) она не изменяется от перемещения точки нуля, от которой отсчитываются данные числа, т. е. если ко всем данным числам прибавить некоторое число h, то и к средней прибавится то же число h. А. средняя может рассматриваться как основание метода наименьших квадратов (см. это сл.) или как следствие или частный случай его (см. Ошибки).