Значение АРИФМЕТИЧЕСКИ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

АРИФМЕТИЧЕСКИ-ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СРЕДНЯЯ

- А.-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю a 1 и геометрическую среднюю g 1 , т. е. найдем a 1 = 1/2(a+g) и g 1 = v(ag). Таким же образом составим a 2 = 1/2(a 1 +g 1 ) и g 2 = v(a 1 g 1 ) и т. д. Числа a, a 1 , a 2 : и g, g 1 , g 2 : будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a 1 = 1.5000000 g 1 = 1.4132136

а 2 = 1.3737734 g 2 = 1.3731462

а 3 = 1.3734598 g 3 = 1.3734596

а 4 = 1.3734597 g 4 = 1.3734597

Итак, AG(2 1 1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

2K/ ? = 1: AG(1 + k, 1 - k).

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90¦ через полуградус (Гаусс, "Werke", Bd. III).

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона. 2012