? представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C . Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).
Введем обозначения: МС=R , СО= ?, МО= r , угол МСО= ?.
Из треугольника M СО следует, что
Это выражение можно представить:
(в случае I) или
(в случае II).
Полагая cos? = x , R /? или ?/R равным ?, получим, что r выражается в обоих случаях через
, где ? < 1.
Во многих вопросах математической физики приходится 1/ r разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функции
по степеням ?. Выполнив это разложение, получим:
где P 0 = 1, P 1 = x , P 2 = 3 / 2 x 2 - 1 / 2 , P 3 = 5 / 2 x 3 - 3 / 2 x ,... P n =
Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.
При помощи строки Лагранжа доказывается, что Р n ( x ) есть n -ая производная целой функции:
( x 2 - 1) n /1•2•3•... n •2 n .
Уравнение Р n ( x ) = 0 имеет все корни вещественные, лежащие между - 1 и +1.
Функция Р n ( x ) удовлетворяет дифференциальному уравнению:
(1- x 2 ) y"- 2 xy' + n ( n + 1) y = 0.
Между тремя последовательными функциями P n , P n- 1 и P n- 2 имеет место соотношение:
nP n ? (2 n- 1) xP n- 1 + ( n- 1) P n- 2 = 0.
Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, "Vorlesungen uber die im umgekehrten Verhaltniss des Quadrats der Entfernung wirkende Krafte" (изд. доктора F. Grube'a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, "Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen" (2 т., Б., 1878, 1881).
Д. С.