операция образования по двум данным объектам а и b, называемым сомножителями, третьего объекта с, называемого произведением. У. обозначается знаком Х (ввёл англ. математик У. Оутред в 1631) или (ввёл нем. учёный Г. Лейбниц в 1698); в буквенном обозначении эти знаки опускаются и вместо а ` b или а b пишут ab. У. имеет различный конкретный смысл и соответственно различные конкретные определения в зависимости от конкретного вида сомножителей и произведения. У. целых положительных чисел есть, по определению, действие, относящее числам а и b третье число с, равное сумме b слагаемых, каждое из которых равно а, так что ab а + а +... + а ( b слагаемых). Число а называется множимым, b v множителем. У. дробных чисел и определяется равенством (см. Дробь ) . У. рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющее знак плюс (+), если оба сомножителя одинакового знака, и знак минус (v), если они разного знака. У. иррациональных чисел определяется при помощи У. их рациональных приближений. У. комплексных чисел , заданных в форме a а + bi и b с + di, определяется равенством ab ac v bd + ( ad + bc ) i. При У. комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
a r 1 (cosj1 + i sin j1),
b r 2 (cosj2 + i sin j2),
их модули перемножаются, а аргументы складываются:
ab r 1 r 2{cos (j1 + j2) + i sin ((j1 + j2)}.
У. чисел однозначно и обладает следующими свойствами:
1) ab ba (коммутативность, переместительный закон);
2) a ( bc )( ab ) c (ассоциативность, сочетательный закон);
3) a ( b + c ) ab + ac (дистрибутивность, распределительный закон). При этом всегда а ×0 0; a× 1 а. Указанные свойства лежат в основе обычной техники У. многозначных чисел.
Дальнейшее обобщение понятия У. связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу r (cosj + i sin j) соответствует оператор растяжения всех векторов в r раз и поворота их на угол j вокруг начала координат. При этом У. комплексных чисел отвечает У. соответствующих операторов, т. е. результатом У. будет оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение У. операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит к операциям У. матриц, кватернионов, рассматриваемых как операторы поворота и растяжения в трёхмерном пространстве, ядер интегральных операторов и т.д. При таких обобщениях могут оказаться невыполненными некоторые из перечисленных выше свойств У., чаще всего v свойство коммутативности (некоммутативная алгебра). Изучение общих свойств операции У. входит в задачи общей алгебры, в частности теории групп и колец.