Значение КОЛЬЦО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

КОЛЬЦО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ

алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n ,3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из многочленов или матриц , см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции - сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R - их сумму и один элемент ab из R - их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы К.):

I. Коммутативность сложения:

а+bb+ а.

II. Ассоциативность сложения:

а + ( b + с )( а + b ) + с.

III. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение а + х b допускает решение х b-a.

IV. Дистрибутивность: а ( b + с ) ab+ac, ( b + с ) а ba + са.

Перечисленные свойства показывают, что элементы К. образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами К. могут служить множества; 4) всех действительных чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида a + bi с целыми а, b ;7) многочленов от одного переменного х с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами; 10) всех кватернионов ; 11) всех чисел Кэли - Диксона, то есть выражений вида a + b е, где a , b - кватернионы, е - буква; сложение и умножение чисел Кэли - Диксона определяются равенствами (a + bе) + (a1 + b1e) (a + a1) + (b + b1) e, (a + bе)(a1 + b1e) (aa1 - b1) + (aa1 + b) e, где - кватернион, сопряжённый к a; 12) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и 'йорданового' умножения а T b ( аb + ba ); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.

Во многих случаях на умножение в К. налагаются дополнительные ограничения. Так, если а ( bc )( ab ) c, то К. называют ассоциативным (примеры 1-10); если в К. выполняются равенства ( aa ) b a ( ab ) , ( ab ) b a ( bb ) , то оно называется альтернативным кольцом (пример 11); если в К. выполняются равенства ab ba, ( ab )( аа )(( аа ) b ) a, то оно называется йордановым кольцом (пример 12); если в К. выполняются равенства а ( bc ) + b ( ca ) + с ( аb ) 0, a 2 0 , то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab ba, то К. называют коммутативным (примеры 1-8, 12). Операции сложения и умножения в К. во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами. Так, элементы К. можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент - а, что а + (- a ) 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8-9, 12-13 можно убедиться, что К. может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab 0; такие элементы называют делителями нуля. Ассоциативное коммутативное К. без делителей нуля называют областью целостности (примеры 1-7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком К. возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax b и уа b при а ¹0, то К. называют телом (примеры 3-5, 10, 11). Ассоциативное коммутативное тело принято называть полем (примеры 3- 5) (см. Поле алгебраическое). Весьма важны для многих отделов алгебры К. многочленов с одним или несколькими переменными над произвольным полем и К. матриц над ассоциативными телами, определяемые аналогично К. примеров 7 и 9 . Многие классы К. всё чаще находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: К. функций и К. операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные тела, применяемые в проективной геометрии; так называемые дифференциальные К. и поля, отразившие интересную попытку применить теорию К. к дифференциальным уравнениям.

При изучении К. большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение R - R' кольца R на кольцо R', что из а - a', b - b' следует а + b - a' +b' и ab - a'b'. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R' изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.

Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr )лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а - b принадлежит М. Всё К. разбивается на классы сравнимых элементов - классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют К. - фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R', то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R, и R' изоморфно R/M.

Среди различных типов К. легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых a из Р и r из R определено произведение ar также из R, причём (a + b) r a r + b r , a(r + s ) ar + a s, (ab) r a(br), a( rs )(a r ) s r (a s ) , er r для любых a, b из Р и r, s из R, где e - единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость ) , то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа ) . Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга n2 над Р ) , К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), К. примера 8 и др.

Для целых чисел и К. многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых К. главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы К., то есть К., где любому элементу а ¹ 0 соответствует неотрицательное целое число n ( a ) , причём n ( ab ) ³ n ( a ) и для любых а и b ¹ 0 существуют такие q и r, что а bq + r и либо n ( r ) < n ( b ) , либо r 0 . Таковы, например, К. многочленов и К. примеров 1 и 6 . Для широкого класса К. верна теорема об однозначном разложении идеала в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется. Основы теории разложения идеалов и абстрактных К. были заложены Э. Нётер (в 20-х гг. 20 в.).

Одним из первых в России теорией К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым К., а именно - к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. - Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1-2, М. - Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.