функция , экспоненциальная функция, важная элементарная функция
f ( z ) ez,
обозначается иногда exp z ; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) П. ф. определяется соотношением
;
Очевидно, что e0 1; при n 1 значение П. ф. равно е - основанию натуральных логарифмов. П. ф. обладает следующими основными свойствами:
и
при любых значениях z1 и z2 , кроме того, на действительной оси ( рис. ) П. ф. ex > 0 и при n - ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х - - ¥ убывает быстрее любой степени 1/ x:
, ,
каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к П. ф., является логарифмическая функция : если w ez, то z ln w .
Рассматривается также П. ф. az при основаниях а > 0 , отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z х рассматриваются П. ф. 2x, (1/2) x и т.д.]. П. ф. az связана с П. ф. ez (основной) соотношением
az ezlna.
П. ф. ex является целой трансцендентной функцией . Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
,(1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением П. ф.
Полагая z х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
ez ex+iy ex (cos y + i sin y ),(2)
связывающую П. ф. с тригонометрическими функциями . Из неё вытекают соотношения:
, .
Функции
ch y , sh y
называются гиперболическими функциями , обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.
Из соотношения (2) следует, что П. ф. (комплексного переменного z ) имеет период 2p i, то есть ez+2 p i ez или e2 p i 1. Производная П. ф. равна самой функции: ( ez ) ' ez.
Указанными свойствами П. ф. определяются её многочисленные приложения. В частности, П. ф. выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность П. ф. комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.