Значение слова ОПЕРАТОРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ОПЕРАТОРЫ

в квантовой теории, математическое понятие, широко используемое в математическом аппарате квантовой механики и квантовой теории поля и служащее для сопоставления определённому вектору состояния (или волновой функции) y др. определённых векторов (функций) y'. Соотношение между y и y' записывается в виде y ' y, где - оператор. В квантовой механике физическим величинам (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставятся в соответствие О. (О. координаты, О. импульса и т.д.), действующие на вектор состояния (или волновую функцию) y, т. е. на величину, описывающую состояние физической системы.

Простейшие виды О., действующих на волновую функцию y( х ) (где х - координата частицы), - О. умножения (например, О. координаты ,y х y) и о. дифференцирования (например, О. импульса , y , где i - мнимая единица, - постоянная Планка). Если y - вектор, компоненты которого можно представить в виде столбца чисел, то О. представляет собой квадратную таблицу - матрицу .

В квантовой механике в основном используются линейные операторы . Это означает, что они обладают следующим свойством: если y1 y'1 и y2y'2, то ( c 1y1 + c 2y2) c 1y'1 + c 2y'2, где c 1 и с 2- комплексные числа. Это свойство отражает суперпозиции принцип -один из основных принципов квантовой механики.

Существенные свойства О. определяются уравнением y n l n y n , где l n - число. Решения этого уравнения y n называется собственными функциями (собственными векторами) оператора . Собственные волновые функции (собственные векторы состояния) описывают в квантовой механике такие состояния, в которых данная физическая величина L имеет определённое значение l n . Числа l n называется собственными значениями О. , а их совокупность - спектром О. Спектр может быть непрерывным или дискретным; в первом случае уравнение, определяющее y n , имеет решение при любом значении l n (в определённой области), во втором - решения существуют только при определённых дискретных значениях l n . Спектр О. может быть и смешанным: частично непрерывным, частично дискретным. Например, О. координаты и импульса имеют непрерывный спектр, а О. энергии в зависимости от характера действующих в системе сил - непрерывный, дискретный или смешанный спектр. Дискретные собственные значения О. энергии называются энергетическими уровнями.

Собственные функции и собственные значения О. физических величин должны удовлетворять определённым требованиям. Т. к. непосредственно измеряемые физич. величины всегда принимают веществ. значения, то соответствующие квантовомеханич. О. должны иметь веществ. собств. значения. Далее, поскольку в результате измерения физич. величины в любом состоянии y должно получаться одно из возможных собств. значений этой величины, необходимо, чтобы произвольная волновая функция (вектор состояния) могла быть представлена в виде линейной комбинации собств. функций (векторов) y n О. этой физич. величины; др. словами, совокупность собств. функций (векторов) должна представлять полную систему. Этими свойствами обладают собств. функции и собств. значения т.н. самосопряжённых О., или эрмитовых операторов .

С О. можно производить алгебраич. действия. В частности, под произведением О. 1 и 2 понимается такой О. 12, действие которого на вектор (функцию) y даёт y y-, если 2y y- и 1y-y-.Произведение О. в общем случае зависит от порядка сомножителей, т. е .12¹21. Этим алгебра О. отличается от обычной алгебры чисел. Возможность перестановки порядка сомножителей в произведении двух О. тесно связана с возможностью одновременного измерения физических величин, которым отвечают эти О. Необходимым и достаточным условием одновременной измеримости физических величин является равенство 1221 (см. Перестановочные соотношения ).

Уравнения квантовой механики могут быть формально записаны точно в том же виде, что и уравнения классической механики (гейзенберговское представление в квантовой механике), если заменить физические величины, входящие в уравнения классической механики, соответствующими им О. Всё различие между квантовой и классической механикой сведется тогда к различию алгебр. Поэтому О. в квантовой механике иногда называют q -числами, в отличие от с -чисел, т. е. обыкновенных чисел, с которыми имеет дело классическая механика.

О. можно не только умножать, но и возводить в степень, образовывать из них ряды и рассматривать функции от О. Произведение эрмитовых О. в общем случае не является эрмитовым. В квантовой механике используются и неэрмитовы О., важным классом которых являются унитарные операторы . Унитарные О. не меняют норм ('длин') векторов и 'углов' между ними. Неизменность нормы вектора состояния даёт возможность интерпретации его компонент как амплитуд вероятности равным образом в исходной и преобразованной функции. Поэтому действием унитарного О. описывается развитие квантовомеханической системы во времени, а также её смещение как целого в пространстве, поворот, зеркальное отражение и др. Выполняемые унитарными О. преобразования (унитарные преобразования) играют в квантовой механике такую же роль, какую в классической механике играют канонические преобразования (см. Механики уравнения канонические ).

В квантовой механике применяется также О. комплексного сопряжения, не являющийся линейным. Произведение такого О. на унитарный О. называются антиунитарным О. Антиунитарные О. описывают преобразование обращения времени и некоторые др.

В теории квантовых систем, состоящих из тождественных частиц, широко применяется метод квантования вторичного , в котором рассматриваются состояния с неопределённым или переменным числом частиц и вводятся О., действие которых на вектор состояния с данным числом частиц приводит к вектору состояния с измененным на единицу числом частиц (О. рождения и поглощения частиц). О. рождения или поглощения частицы в данной точке х ,( х ) формально подобен волновой функции y( х ), как q- и с- числа, отвечающие одной и той же физической величине соответственно в квантовой и классической механике. Такие О. образуют квантованные поля, играющие фундаментальную роль в релятивистских квантовых теориях (квантовой электродинамике, теории элементарных частиц; см. Квантовая теория поля ).

Лит . см. при статьях Квантовая механика , Квантовая теория поля .

В. Б. Берестецкий.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012