тригонометрические функции , аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х ('арксинус x ') - функция, обратная sin х ; 2) Arc cos x ('арккосинус x ') - функция, обратная cos х ; 3) Arc tg x ('арктангенс x ') - функция, обратная tg х ; 4) Arc ctg x ('арккотангенс x ') - функция, обратная ctg x ; 5) Arc sec x ('арксеканс x ') - функция, обратная sec x ; 6) Arc cosec x ('арккосеканс x ') - функция, обратная cosec x . Согласно этим определениям, например, х Arc sin a есть любое решение уравнения sin х a , т.е. sin Arc sin a a . Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для | х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х - для всех действительных х , а функции Arc sec х и Arc cosec х :-для | х | ³ 1; две последние функции малоупотребительны.
Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х , arc cos x ,..., arc cosec x . Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х , для которой - p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогично, функции arc cos х , arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 £ arc cos х £ p, - p/2 < arc tg x < p /2 , 0 < arc ctg x < p. На рис. изображены графики функций у Arc sin x , у Arc cos x , у Arc tg x , у Arc ctg x ; главные Arc cos x | arc cos x +2p n, ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х ,... легко выражаются через arc sin x ,..., например
n 0, |1, |2, -
Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы
вытекает, что
Производные О. т. ф. имеют вид
О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например
эти ряды сходятся для -1 £ x £ 1 .
О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например
.
Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.