функция , функция , обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у f ( x ) - данная функция, то переменная х , рассматриваемая как функция переменной у , х j ( y ), является обратной по отношению к данной функции у f (x) . Например, О. ф. для у ax + b (а¹0) является х (у-b)/a , О. ф. для у ех является х ln у и т.д. Если х j( y ) есть О. ф. по отношению к у f (x), то и у f (x) есть О. ф. по отношению к х j( y ). Областью определения О. ф. является область значений данной функции, а областью значений О. ф.- область определения данной. Графики двух взаимно обратных функций у f (x) и у j (x) (где независимое переменное обозначено одной и той же буквой х ), как, например, у ax + b и у (х-b)/a, у ех и у ln х , симметричны по отношению к биссектрисе у х первого и третьего координатных углов. Функция, обратная по отношению к однозначной функии, может быть многозначной (ср., например, функции х2 и ). Для однозначности О. ф. необходимо и достаточно, чтобы данная функция у f (x) принимала различные значения для различных значений аргумента. Для непрерывной функции последнее условие может выполняться только в том случае, если данная функция монотонна (имеются в виду функции действительного аргумента, принимающие действительные значения). О. ф. по отношению к непрерывной и монотонной функции однозначна, непрерывна и монотонна.
Если данная функция кусочно монотонна, то, разбивая область её определения на участки её монотонности, получают однозначные ветви О. ф. Так, одним из участков монотонности для sin х служит интервал - p/2 < x < p/2; ему соответствует т. н. главная ветвь arc sin х обратной функции Arc sin х . Для пары однозначных взаимно обратных функций имеют место соотношения j [f (x)]x и f [ j (x)] х , первое из которых справедливо для всех значений х из области определения функции f (x), а второе - для всех значений х из области определения функции j (x) ; например, eln x х (х > 0), 1n (e x ) х (- ¥ < х < ¥). Иногда функцию, обратную к f (x) у , обозначают f- -1(y) х , так что для непрерывной и монотонной функции f (x):
F -1[f (x)]f [f-1) x)]x.
Вообще же f -1[f (x)] представляет собой многозначную функцию от х , одним из значений которой является х ; так, для f (x) x2 , х (¹ 0) является лишь одним из двух значений f -1[f (x)] vx2 (другое: -х); для f (x) sin х , х является лишь одним из бесконечного множества значений
f- -1[f (x)] Arc sin [sin x ] (-1) n x + np ,
n 0, | 1, | 2,....
Если у f (x) непрерывна и монотонна в окрестности точки х x0 и дифференцируема при х x0 , причём f'(x0) ¹ 0, то f -1(y) дифференцируема при у у0 и
(формула дифференцирования О. ф.). Так, для -p/2 < х < p/2, у f (x) sin х непрерывна и монотонна, f-(x) cos х ¹ 0 и f- -1(y) arc sin у (-1 < y < 1) дифференцируема, причём
где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для -p/2 < х < p/2).