Значение ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

теорема , теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключением - условие. Обратной к О. т. будет исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и О. т. взаимно обратны. Например, теоремы: 'если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны' и 'если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны' - являются обратными друг другу. Из справедливости какой-нибудь теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема: 'если число делится на 6, то оно делится на 3' - верна, а О. т.: 'если число делится на 3, то оно делится на 6' - неверна. Даже если О. т. верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема 'две прямые на плоскости, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются', так и обратная к ней теорема 'две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр'. Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В Лобачевского геометрии вторая просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. О. т. равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение прямой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ 'доказательства от противного' как раз и представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия ).

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012