Значение НОРМАЛЬНАЯ (ЖОРДАНОВА) ФОРМА МАТРИЦ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

НОРМАЛЬНАЯ (ЖОРДАНОВА) ФОРМА МАТРИЦ

(жорданова) форма матриц . С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А . В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму [термин 'Н. (ж.) ф. м.' связан с именем К. Жордана ]. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка:

(1)

Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведённой схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья - порядок 2 . В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители : (l - l1)4, (l - l2)2, (l - l3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется её жорданова форма.

Если матрица А имеет жорданову форму I , то существует неособенная матрица Т такая, что А TIT -1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме.

Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

-.

в матричной записи:

Введём новые неизвестные функции y1, у 2,... y n при помощи неособенной матрицы [ t ik - числа ( i , k 1, 2, -, n)]:

,

,

-.

;

в матричной записи:

х Ту .

Подставляя это выражение для x в (2), получим:

где матрица I связана с матрицей А равенством:

А TIT -1.

Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n 8, если матрица имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид:

, ,

, ,

, ,

, .

Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения.

Лит . см. при ст. Матрица .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.