Значение НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ МЕТОД

коэффициентов метод, метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С - коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

( А + В + С ) х2 + ( В - С ) х - А 3 x 2 - 1 .

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С 3, В - С 0, А 1, откуда А В С 1 . Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D - неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А - 2 B + 3 C 1, - А + В + 3 D 1, A + C - 2 D -1, В - С + D 0, откуда A 0, В -1/2, С 0, D 1/2, т. е.

В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А - 2 В + 3 С 1 , -A - B 1, A + C - 1, В - С 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С .

Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху 0 такое, что у 0 и y' 1 при х 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у х + c2x 2 + c3x 3 + c4x 4 + c5x 5 + ×××.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y " - выражение

2 c 2 + 3T2 с3х + 4T3 с4х2 + 5T4с5х3 + ×××,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2 c 2 + 3T2 c 3 x + (1 + 4T3 c 4) x 2 + ( c 2 + 5T4 c 5) x 3 + ××× 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2 c 2 0; 3T2 с 3 0; 1 + 4T3 c 4 0; c 2 + 5T4 c 5 0;...

Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.