Значение ПРЕДИКАТ (СВОЙСТВО ОТД. ПРЕДМЕТА) в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ПРЕДИКАТ (СВОЙСТВО ОТД. ПРЕДМЕТА)

(от позднелат. praedicatum- сказанное), то же, что свойство; в узком смысле - свойство отдельного предмета, например 'быть человеком', в широком смысле - свойство пары, тройки, вообще n- кипредметов, например 'быть родственником'. П. в широком смысле называют также отношениями.

Исторически понятие о П. явилось следствием логического анализа высказываний естественного языка, т. е. выяснения их логической структуры, выяснения того, какой логикой может быть выражен (формализован) смысл этих высказываний. Идея выделения логической структуры речи, в отличие от грамматической, для нужд логической дедукции принадлежит Аристотелю. В аристотелевской и в последующей 'традиционной' логике П. понимался в узком смысле как один из двух терминов суждения, а именно тот, в котором нечто говорится о предмете речи - субъекте. Форма сказывания - предикативная связь - сводилась при этом к атрибутивной связи, т. е. выражала 'присущность' предмету некоторого признака. Аристотель выделял 4 типа признаков, способных играть роль П.: родовые, видовые, собственные и случайные. Это т. н. предикабилии - типы сказуемых.

Логический анализ фраз естественного языка на том уровне представлений о логической дедукции, который был характерен для аристотелевской (и традиционной) логики, ограничивался, т. о., для выражения смысла высказываний логикой одноместных П. (логикой свойств в узком смысле). Это существенно ослабляло 'выразительные возможности' логики и служило препятствием для адекватной формализации тех объективных связей между предметами, которые, будучи мыслимыми в виде отношений (свойств в широком смысле) между соответствующими понятиями, лежат в основе логической правильности умозаключений об отношениях - основных умозаключений в науке. Устранение указанного препятствия и усиление выразительных средств формализма современной логики связано, в частности, с восходящей к работе Г. Фреге 'Исчисление понятий' (1879) новой трактовкой П. Главная идея этой трактовки - рассмотрение отношения предикации как частного случая функциональной зависимости. Это обеспечивает более ёмкое, чем аристотелевское, отображение смысловой структуры фраз естественного языка в формализме субъектно-предикатного типа и одновременно дальнейшее развитие самого этого формализма на пути сближения языков логики и математики.

Основой для 'функциональной' точки зрения на П. служат в естественных и в искусственных (точных) языках выражения вида повествовательных предложений, содержащие неопределённые термины - неопределённые имена предметов: переменные (параметры) в записи утверждений в математическом языке, например х + 2 4; слова 'нечто', 'некто', 'кто-либо' и пр., играющие в естественном языке роль переменных в выражениях типа: 'Некто человек', 'Кто-то любит кого-то', 'Если кто-либо человек, то он смертен' и т.п. Записав эти выражения некоторым единым способом, например заменяя неопределённые термины пробелами, аналогично тому, как это делается в опросных бланках, '-+ 2 4', '-человек', '- любит -', 'Если - человек, то - смертен', или же принимая запись с помощью переменных в качестве основной, 'x + 2 4', 'x человек', ' х любит у ', 'Если х человек, то х смертен', легко заметить нечто общее между ними. Во-первых, наличие неопределённых терминов делает эти и подобные им выражения, вообще говоря, неопределёнными как в смысле того, что в них утверждается, так и в смысле их истинностного значения ; во-вторых, всякое подходящее указание на область значений неопределённых терминов и одновременная квантификация или замена неопределённых терминов их значениями преобразует соответствующие выражения в осмысленные высказывания. В современной логике выражения, имеющие вид повествовательных предложений и содержащие неопределённые термины, получили общее название пропозициональных функций, или, сохраняя традиционный термин, П. Как и числовые функции, П. являются соответствиями. Неопределённые термины играют в них обычную роль аргументов функции, но, в отличие от числовых функций, значениями П. служат высказывания. В общем случае, отвлекаясь от какого-либо определённого языка и сохраняя только функциональную форму записи, П. от n переменных (от n неопределенных терминов) выражают формулой P ( x1,..., xn ) , где n ³ 0 . При n 0 П. совпадает с высказыванием, при n 1 П. будет свойством в узком смысле (1-местным П.), при n 2 - свойством 'пары' (2-местным П., или бинарным отношением), при n 3 - свойством 'тройки' (3-местным П., или тернарным отношением) и т.д. Выражения: ' x + 2 4', 'х человек', ' х любит y', ' х сын у и z ' служат соответственно примерами 1-местного, 2-местного и 3-местного П. Они преобразуются в высказывания либо при надлежащей подстановке, например '2 + 2 4', 'Сократ - человек', 'Ксантиппа любит Сократа', 'Софрониск - сын Ксантиппы и Сократа', либо при связывании переменных кванторными словами, например '$ х ( х + 2 4)' (существует число, которое в сумме с 2 даёт 4), '$ ( х - человек)' (существуют люди), '"x$y$z ( х сын у и z ) > > (каждый является сыном по крайней мере двух родителей) и т.п., имея в виду, что области значений переменных в первом случае - числа, во втором - живые существа, в третьем - люди. (Подробнее о квантификации см. Квантор . )

Членение предложения на субъект и П., характерное для традиционной логики, вообще говоря, не совпадало с грамматическим членением предложения на подлежащее и сказуемое: для приведения выражений обычной речи к виду силлогистических аргументов требовалось определённое преобразование этих выражений, изменяющее, как правило, форму сказываемости. Трактовка П. как пропозициональных функций, связанная с отождествлением синтаксической роли подлежащих и дополнений на основе их принадлежности к общему семантическому типу объектов из области определения (значений аргументов) пропозициональной функции, явилась дальнейшим отходом в логике от собственно лингвистической точки зрения на П. Тем не менее, в рамках, например, прикладной логики П. естественно рассматривать и как лингвистическое понятие, точнее как лингвистическую конструкцию, несущую 'неполное сообщение', которая в чистой логике описывается понятием пропозициональной функции.

В современной теоретико-множественной ('классической') логике принято более абстрактное, чем приведённое выше, истолкование П., основанное на отождествлении высказываний и их истинностных значений, что в рамках этой логики допустимо, хотя и не обязательно. П. можно тогда понимать только как логическую функцию, заданную теоретико-множественно, т. е. как отображение Dn в {И, Л}, где n - число аргументов функции, D - область их значений, Dn- n -кратное прямое произведение этой области, а {И, Л} - множество истинностных значений функции. К примеру, если значения переменной х выражения 2 + 2 4 определены в множестве натуральных чисел, то соответствующая функция задана таблицей:

x

x + 2 4

0

1

2

3

...

Л

Л

И

Л

...

Выбор той или иной трактовки понятия П. не произволен, в частности он определяется методологической позицией - конструктивистской, интуиционистской или классической. Но при этом речь идёт по существу не о претензии той или иной трактовки на единственно правильное описание некой 'единой сущности', именуемой П., а о соглашении употреблять термин 'П.' в том или ином подходящем к данному случаю его значении. Об исчислении П. см. Логика предикатов .

Лит.: Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972; Новиков П. С., Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 197З.

М. М. Новосёлов.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.