бином , название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:
(1)
(1) где n - целое положительное число, а и b - какие угодно числа.
Частными случаями Н. б. при n 2 и n 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b : ( а + b )2 а2 + 2ab + b2 , ( а + b )3 а3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ; при n 4 получают (а + b )4 a4+ 4 a 3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 и т.д.
Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при an-kbk обозначается так: или . Последнее обозначение связано с комбинаторикой : есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k . Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2 n . Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) n+1 ; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b )3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)4 . Вообще:
Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b )1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n . Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник ).
Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона ; но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем , 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при an-kbk служит выражение , которое, в случае целого положительного п , обращается в нуль при всяком k > п , вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если ê b ê < ê а ê, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b ) n (см. Ряд ). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).