Значение ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

преобразование , преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ¥), называемую 'оригиналом', в функцию

(1)

комплексного переменного р s +it. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат - функцию F ( p ). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге 'Аналитическая теория вероятностей', вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер .

При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f ( t ) однозначно, в простейших случаях - по формуле обращения:

(2)

Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

,

, n 1, 2, -,

, t > 0.

Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у- + у f ( t ) , y (0) y- (0)0

и Y ( p ) L [y], F ( p ) L [f],

то L [y-] p2Y ( p )

и p2Y ( p ) + Y ( p ) F ( p ) ,

откуда

Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления , в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится 'изображение' оригинала f ( t ) - функция pF ( p ) .

Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл ) . Для применимости Л. п. к функции f ( t ) необходимо, чтобы f ( t ) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p0 s0 + it0. Если интеграл (1) сходится в точке р0, то он сходится во всех точках р, для которых Re ( р-р0 ) > 0 . Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число sс, что при Re p > sc интеграл (1) сходится, а при Re р < sс расходится. Число sс называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F ( p ) - аналитическая функция в полуплоскости Re р > sс .

Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. - Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.