уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности . Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:
,
где r - плотность среды; cv - теплоёмкость среды при постоянном объёме; t - время; х, у, z - координаты; Т Т ( х, у, z, t ) - температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; l - коэффициент теплопроводности; F F ( x, y, z, t ) - заданная плотность тепловых источников. Величины r, Cv, l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо l содержит тензор теплопроводности l ir , где i, k 1, 2, 3 .
В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид:
,
где D T - Лапласа оператор , a 2 l /(r c v) - коэффициент температуропроводности; f F/ ( rcv ) . В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнение D Т f / a 2 F /l или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение D Т 0 . Основными задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача (см. Краевые задачи ) .
Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским , А. Н. Тихоновым , С. Л. Соболевым .
Лит.: Карслоу Г. С., Теория теплопроводности, пер. с англ., М.- Л., 1947: Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
Д. Н. Зубарев.