зависимость (матем.), соотношение вида
C11u1 + C2u2 + ... + Cnun 0, (*)
где С1, C2, ..., Cn - числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u1, u2, ..., un - те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u1, u2, ..., un входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u1, u2, ..., un имеется Л. з., то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u1, u2, ..., un линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.
u1 a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + a nun.
Непрерывные функции от одного переменного
u1 j 1 ( х ) , u2 j 2 ( х ) , ..., un j n ( x ) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х . Для того чтобы функции j 1 ( x ) , j 2 ( x ) , ..., j n ( x ) , заданные на некотором отрезке а £ х £ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама
где
i, k 1,2, ..., n .
Если же функции j1 (x), j2(x), ..., jn(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения , то для существования Л. з. между ними необходимо и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.
Линейные формы от m переменных
u1 ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm
( i 1, 2, ..., n )
называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x1, x2, ..., xm . Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель
D