уравнение, дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:
где х , у , z - пространственные переменные, t - время, u u ( х , у , z )- искомая функция, характеризующая возмущение в точке ( х , у , z ) в момент t , а - скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде 'расходящейся сферической волны':
u f ( t - r / a )/ r ,
где f - произвольная функция, a
Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):
u - ( t - r / a )/ r
(где - - дельта-функция ), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой 'бесконечный всплеск' на окружности r at , удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.
Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:
Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u f ( x - at ) + g ( x + at ), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий .
Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
П. И. Лизоркин.