Значение А ВЕДЬ в Большом современном толковом словаре русского языка

союз разг.

Употребляется при присоединении части сложноподчиненного предложения ( в котором выражается противопоставление с уступительным оттенком ) , соответствуя по значению сл.: хотя, несмотря на то что.