целые функции , отношения которых представляют эллиптические функции . Основные четыре Т.-ф. определяются следующими быстро сходящимися рядами:
q 1 ( z ) 2 q 1/4 sin z - 2 q 9/4 sin 3 z + 2 q 25/4 sin 5 z + ...,
q 2 ( z ) 2 q 1/4 cos z + 2 q 9/4 cos 3 z + 2 q 25/4 cos 5 z + ...,
q 3 ( z ) 1 + 2 q cos 2 z + 2 q 4 cos 4 z + 2 q 9 cos 6 z + ...,
q 4 ( z ) 1 - 2 q cos 2 z + 2 q 4 cos 4 z - 2 q 9 cos 6 z + ..., где | q | < 1 . При добавлении p к аргументу z эти функции приобретают соответственно множители -1, -1, 1, 1, a при добавлении pt, где t связано с q соотношением q e p i t , множители - N, N, N, -N ( N q-1e v2ik ) . Отсюда следует, что, например, отношение J1( z )/J4( z ) представляет мероморфную функцию , не изменяющуюся при добавлении к аргументу 2p или pt, то есть эллиптическую функцию с периодами 2p и pt. Обобщением указанных Т.-ф., введённых К. Якоби (обозначения Якоби несколько иные), являются Т.-ф., построенные А. Пуанкаре для представления автоморфных функций .
Лит.: Уиттекер Э.-Т., Ватсон Дж.- Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963.