Значение СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

значения линейного преобразования или оператора А , числа l,длякоторых существует ненулевой вектор х такой, что Ах l х ; вектор х называется собственным вектором . Так, С. з. дифференциального оператора L ( y ) с заданными краевыми условиями служат такие числа l, при которых уравнение L ( y ) l у имеет ненулевое решение, удовлетворяющее этим краевым условиям. Например, если оператор L ( y ) имеет вид у- , то его С. з. при краевых условиях y (0) у (p) 0 служат числа вида ln n 2,где n - натуральное число, т.к. уравнению - у- n 2 у с указанными краевыми условиями удовлетворяют функции уп sin nx ; если же ln¹ n 2 ни при каком натуральном n , то уравнению - у- l у при тех же краевых условиях удовлетворяет только функция у ( х ) º 0 . К изучению С. з. линейных операторов приводят многие задачи математики, механики и физики (аналитической геометрии и алгебры, теории колебаний, квантовой механики и т.д.).

С. з. матрицы ( i , k 1, 2,..., n ) называют С. з. соответствующего ей линейного преобразования п-мерного комплексного пространства. Их можно определить также как корни определителя матрицы А - l Е (где Е - единичная матрица), т. е. корни уравнения

, (*)

называемого характеристическим уравнением матрицы. Эти числа совпадают для подобных матриц А и В v1 AB (где В - неособенная матрица) и характеризуют поэтому свойства линейного преобразования, не зависящие от выбора системы координат. Каждому корню li; уравнения (*) отвечает вектор xi ¹ 0 (собственный вектор) такой, что Axi l ixi . Если все С. з. различны, то множество собственных векторов можно выбрать за базис векторного пространства .В этом базисе линейное преобразование описывается диагональной матрицей

.

Каждую матрицу А с различными С. з. можно представить в виде С v1L С . Если А - самосопряжённая матрица , то её С. з. действительны, собственные векторы ортогональны, а матрицу С можно выбрать унитарной (см. Унитарная матрица ). Модуль каждого С. з. унитарной матрицы равен 1 . Сумма С. з. матрицы равна сумме её диагональных элементов, т. е. следу её матрицы. Знание С. з. матрицы играет важную роль в исследовании сходимости некоторых приближённых методов решения систем линейных уравнений. См. также Собственные функции .

Большая советская энциклопедия, БСЭ.