логика , логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение 'А - ложно' есть лишь иная форма выражения 'не-А', в П. л. отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств , в том числе доказательств от противного , а также явные определения отрицания типа ù А dfA ( f , где ù - знак отрицания, E - импликация , а f - пропозициональная переменная или какое-либо 'допустимое' абсурдное утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.
Логические законы , соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях , из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией , дизъюнкцией , импликацией и эквиваленцией.
Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика )задаётся с помощью двух аксиомных схем:
1. А E( В E A),
2. ( A E ( В E С ))E(( А E В )E( А E C )
и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний - добавлением к схемам (1) и (2) следующих:
3. ( А & В )E А ,
4. ( A & В )E В,
5. А E( В E( A & В )) ,
6. ( A E С )E(( B E С )E(( А U В )E C )) ,
7. А E( A U B ) ,
8. В E ( A U B )
и определения эквиваленции как сокращения для выражения ( А E В ) & ( В E А ) . Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
9. ( А E В ) E ((А Eù В )E ù А )
или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему
10. ù А E( А E В )
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
11. ù А ( А
( исключенного третьего принцип ) , получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как 'частичные системы'. Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые 'сами по себе', и 'те же' исчисления 'внутри' более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, ¬ 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, ¬¬ 2-6.
М. М. Новосёлов.